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6.1 拉格朗日动力学

机器人动力学研究机器人运动与作用力之间的关系，是设计高性能控制器（如计算力矩控制、阻抗控制）和分析系统动态特性的理论基础。在多种动力学建模方法中，拉格朗日法基于能量观点，通过系统的动能和势能来推导运动方程。这种方法不直接分析复杂的约束力，具有系统性强、适用于复杂多自由度系统的优点，是建立机器人操作器动力学模型的经典且重要的方法。

6.1.1 拉格朗日方程的基本原理

拉格朗日力学是分析力学的重要分支，它从能量视角重新表述了牛顿力学。其核心是定义拉格朗日函数LLL，也称为动势，为系统总动能TTT与总势能VVV之差：
L=T−V L = T - VL=T−V
对于一个由广义坐标q=[q1,q2,...,qn]Tq = [q_1, q_2, ..., q_n]^Tq=[q1​,q2​,...,qn​]T描述的完整系统（nnn为自由度），其运动规律由第二类拉格朗日方程描述：
ddt(∂L∂q˙i)−∂L∂qi=aui,i=1,2,...,n \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \right) - \frac{\partial L}{\partial q_i} = au_i, \quad i = 1, 2, ..., ndtd​(∂q˙​i​∂L​)−∂qi​∂L​=aui​,i=1,2,...,n
其中：

• qiq_iqi​和q˙i\dot{q}_iq˙​i​分别是第iii个广义坐标及其对时间的一阶导数（广义速度）。
• auiau_iaui​是对应于广义坐标qiq_iqi​的广义力。对于机器人而言，这通常包括关节执行器提供的主动控制力矩或力τi\tau_iτi​，以及耗散力（如摩擦力）和外力。

若将拉格朗日函数L=T−VL = T - VL=T−V代入，方程可展开为更常用的形式：
ddt(∂T∂q˙i)−∂T∂qi+∂V∂qi=aui \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_i} \right) - \frac{\partial T}{\partial q_i} + \frac{\partial V}{\partial q_i} = au_idtd​(∂q˙​i​∂T​)−∂qi​∂T​+∂qi​∂V​=aui​
这个方程清晰地表明，系统的运动由惯性项（与动能TTT的时间变化率和空间变化率相关）、保守力项（与势能VVV的梯度相关）以及外部广义力项共同决定。

6.1.2 机器人操作器的动能与势能

要将拉格朗日方程应用于机器人，首先需要计算机器人系统的总动能和总势能。

6.1.2.1 动能计算
机器人操作器由多个连杆组成，其总动能是各连杆动能之和。对于第iii个连杆，其动能TiT_iTi​可表示为刚体平动动能与转动动能之和：
Ti=12mivCiTvCi+12ωiTICiωi T_i = \frac{1}{2} m_i \mathbf{v}_{C_i}^T \mathbf{v}_{C_i} + \frac{1}{2} \boldsymbol{\omega}_i^T \mathbf{I}_{C_i} \boldsymbol{\omega}_iTi​=21​mi​v